La versión original de esta historia apareció en Quanta Magazine.
En medio de un campo, es fácil olvidar que vivimos en un planeta redondo. Somos tan pequeños en comparación con la Tierra que, desde nuestra perspectiva, parece plana.
El mundo está lleno de formas como esta: superficies que parecen planas para una hormiga que vive sobre ellas, aunque puedan tener una estructura global más compleja. Los matemáticos llaman a estas formas variedades. Introducidas por Bernhard Riemann a mediados del siglo XIX, las variedades transformaron la forma en que los matemáticos piensan sobre el espacio. Ya no era simplemente un escenario para otros objetos matemáticos, sino un objeto abstracto y bien definido que merecía ser estudiado por derecho propio.
Esta nueva perspectiva permitió a los matemáticos explorar rigurosamente espacios de dimensiones superiores, dando lugar al nacimiento de la topología moderna, un campo dedicado al estudio de espacios matemáticos como las variedades. Las variedades también han ocupado un lugar central en campos como la geometría, los sistemas dinámicos, el análisis de datos y la física.
Hoy en día, proporcionan a los matemáticos un vocabulario común para resolver todo tipo de problemas. Son tan fundamentales para las matemáticas como el alfabeto lo es para el lenguaje. “Si conozco el cirílico, ¿conozco el ruso?”, dijo Fabrizio Bianchi, un matemático de la Universidad de Pisa en Italia. “No. Pero intenta aprender ruso sin aprender el cirílico.”
Entonces, ¿qué son las variedades y qué tipo de vocabulario proporcionan?
Ideas que toman forma
Durante milenios, la geometría significó el estudio de objetos en el espacio euclidiano, el espacio plano que vemos a nuestro alrededor. “Hasta el siglo XIX, ‘espacio’ significaba ‘espacio físico’”, explicó José Ferreirós, un filósofo de la ciencia de la Universidad de Sevilla en España, refiriéndose al análogo de una línea en una dimensión o un plano plano en dos dimensiones.
En el espacio euclidiano, las cosas se comportan como se espera: la distancia más corta entre dos puntos es una línea recta. Los ángulos de un triángulo suman 180 grados. Las herramientas del cálculo son fiables y bien definidas.
Pero a principios del siglo XIX, algunos matemáticos comenzaron a explorar otros tipos de espacios geométricos, espacios que no son planos sino curvos como una esfera o una silla de montar. En estos espacios, las líneas paralelas pueden llegar a intersectarse. Los ángulos de un triángulo pueden sumar más o menos de 180 grados. Y realizar cálculos puede ser mucho más complicado.
La comunidad matemática tuvo dificultades para aceptar (o incluso comprender) este cambio en el pensamiento geométrico.
Pero algunos matemáticos querían llevar estas ideas aún más lejos. Uno de ellos fue Bernhard Riemann, un joven tímido que originalmente planeó estudiar teología (su padre era pastor) antes de sentirse atraído por las matemáticas. En 1849, decidió realizar su doctorado bajo la tutela de Carl Friedrich Gauss, quien había estado estudiando las propiedades intrínsecas de las curvas y las superficies, independientemente del espacio que las rodea.
